Questa seconda parte di modellizzazione del tiro del fucile subacqueo parte da quella precedentemente descritta in cui ho usato come parametri di riferimento il calcolo delle velocità medie tra due punti noti della traettoria (LINK).
Tale metodica, proprio per l'uso di valori medi, ha in sè un certo grado di approssimazione non quantificabile, ma che si attesta verosimilmente, in base a vari riscontri effuati, nell'ordine di 0-4 m/s.
Il modello precedentemente elaborato è probabilmente un modello con un buon grado di "precisione", ma un grado meno soddisfacente di "accuratezza".
Da qui la necessità di superare il predetto limite.
Innanzitutto è doveroso dire che lo sviluppo del modello che esporrò e solo in parte una mia analisi.
Il resto è frutto di suggerimenti di altri appassionati di balistica subacquea curiosi forse quanto me di conoscere le reali prestazioni di un determinato arbalete.
Sono rimasto infatti affascinato, oltrecchè lusingato, dalle osservazioni e dai suggerimenti gentilmente offertimi da persone molto preparate e competenti, che hanno avuto il "coraggio" di leggere ed analizzare il mio modello offrendomi tantissimi spunti di riflessione.
Questo elaborato è il frutto di tutto ciò.
Va a questi Amici il mio più caloroso GRAZIE.
Introduzione
Partiamo dagli schemi di base del modello già descritto nella precedente presentazione e riassunti nei seguenti grafici:
Dove:
- Lf = Lunghezza Fucile (foro - tacca)
- Lo = Lunghezza (Ogiva/Boccole)
- Le = Lunghezza elastico ( fino alle boccole)
- La = Lunghezza (foro elastici / punta asta)
- Ce = Corsa elastici
- Pvmax è il punto teorico di massima velocità raggiunto dall'asta
- Vmax è il picco di velocità dell'asta
- Pfc è il punto di fine corsa ogiva/elastici.
- long = distanza (Tacca-perno / ogiva con elastici a riposo)
Convenzionalmente ho definito come Pvmax, quel punto teorico in cui l'asta raggiunge la sua massima velocità. Tale punto è vicino alla posizione degli elastici a riposo sul fusto, ma non coincide con essa.
Con buona approssimazione ritengo che tale punto ( nel modello dell'arbalete classico monolelastico che sto considerando) possa coincidere con un valore pari a 3/5 - 4/5 di Ce.
L'approssimazione è da considerarsi dell'ordine di circa 5-10 cm ( a seconda della lunghezza del fucile ), quindi del tutto accettabile.
Il punto Pvmax rappresenta idealmente quel punto in cui termina la cessione di energia all'asta da parte degli elastici. Da questo momento in poi la velocità dell'asta sarà regolata dalle leggi della balistica esterna.
Questo secondo grafico completa la presentazione del modello:
Dove:
x1, x2 e x3 sono le distanze ( misurate con un semplice metro) a cui l'asta inizia a far srotolare la sagola dal mulinello.
t1, t2 e t3 sono i relativi tempi di percorrenza.
P1 è il centro del tratto x1-x2, P2 il centro del tratto x2-x3.
Vp1 e Vp2 sono le velocità medie calcolate in P1 e P2
Elaborazione teorica
"Il punto di partenza è stato la legge di smorsamento dell' energia in funzione dello spazio percorso dall'asta di tipo esponenziale (die away curve).
L'energia (cinetica) è proporzionale al quadrato della velocità, dato che la radice quadrata di un esponenziale è sempre un esponenziale:
((exp(x))^.5=exp(.5 x))
anche la velocità avrà uno smorsamento esponenziale rispetto allo spazio percorso dall'asta:
V = Vmax exp(-K'(x-Pvmax))
Spiego questa formula che ha valore per x maggiore di Pvmax;
- V è la velocità dell'asta quando la punta si è spostata nella sua corsa di x,
- Pvmax è (definito nel modello) la distanza alla quale la velocità è massima (Vmax).
- K' è una costante diversa da K
Infatti se sostituiamo Pvmax a d nella formula otteniamo:
V = Vmax exp(-K' (Pvmax-Pvmax)) = Vmax exp( 0 ) = Vmax.
K' e' una costante che dipende dal fucile, dagli elastici e dall'asta.
Il punto impreciso della procedura del precedente modello (modello 1) è stato l'uso delle velocità medie, calcolate come:
VP1 = (x2-x1)/(t2-t1), VP2 = (x3-x2)/(t3-t2)
cioè un'approssimazione di una curva che retta non è (è un esponenziale) con una retta.
Dato che col metodo dell'analisi dell'onda audio si possono misurare spazio e tempo vediamo di risolvere la formula V in funzione di x in una formula x in funzione di t (tempo). Bisogna integrare l'equazione differenziale ( V è la derivata di x rispetto a t: V = d x/d t) :
d x/d t = Vmax exp( -K' (x-Pvmax))
La soluzione è:
t-tvmax = 1/(K' Vmax) [exp(K'(x-Pvmax)) -1]
dove tvmax è il tempo a partire dallo sparo dopo cui l'asta arriva alla velocità massima Vmax.
Il problema è, dati un certo numero di coppie sperimentali di tempi e distanze, calcolare le costanti incognite: tvmax, K, Vmax, Pvmax. Si puo' fare fare con l'ausilio di un programma di analisi numerica, ma occorrono più di tre coppie di dati. In ogni caso i dati sperimentali devono stare su questa curva nel piano cartesiano tempo-spazio (Formula 1):
t-tvmax = 1/(K' Vmax)[exp(K'(x-Pvmax))-1]
Questa formula vale anche se a Pvmax, tvmax e Vmax sostituiamo una tripletta x0, t0 e V0 dove x0 e' una posizione qualunque, maggiore di
Pvmax, raggiunta dalla punta dell'asta al tempo t0 e V0 e' la velocita' in (x0,t0).
Quindi:
t-t0 = 1/(K' V0) [exp(K' (x-x0))-1]
Soluzione del problema
La Formula (1) dice una cosa: date le quattro costanti x,t, Pvmax, tvmax posso ricavarmi K. Con metodo dell'analisi dell'onda sonora ricavo con precisione t e contestualmente posso misurare x. Mi rimangono Pvmax e tvmax che non posso ( almeno fin'ora non sono riuscito a farlo) misurare direttamente.
Poichè avevo a disposizione più misurazioni per quanto riguarda Kopis ( varie x e varie y ) ho cercato di "indovinare" K'. Per farmi capire chiamiamo x1, x2, x3 le varie distanze di tiro di Kopis e t1,t2,t3 i rispettivi tempi medi.
Ho impostato una routine in visual basic di excel al fine di calcolare con buona approssimazione il valore di K' a cui corrispondeva una Vmax uguale per le tre serie di misurazioni.
Il risultato è stato che risucivo a trovare un valore di Vmax cui corrispondeva un unico K' per le tre serie di misurazioni. Mi sembrava di essere riuscito a determinare K' in modo univoco, ma facendo delle prove crociate con gli altri dati di Xiphos mi sono reso conto che per ogni K' ipotizzato esisteva una Vmax che faceva corrispondere i dati di x e t. Il tutto sempre approssimando tvmax e Pvmax a valori "ipotizzati".
Tradotto in termini pratici, date le tre coppie di misurazioni esisterebbe un'ipotetica asta cui corriponde un K' specifico e che lanciata ad una specifica velocità rispetta le tre coppie di misurazioni ( almeno questo il ragionamento che ho fatto !!!!). Ma come trovare il K' cui corrisponde la specifica asta usata ?????
Ho cercato, allora, di restringere il campo extrapolando tvmax dall'analisi dell'onda audio (forse si può fare, ma a prima vista è difficile e non accurato nè preciso).
Tre giorni e tre notti a pensare.
Poi la "fulminazione" !!!
Dalla formula sappiamo che:
t-tvmax = 1 / (K' Vmax) [exp(K' (x-Pvmax)) -1]
da cui (FORMULA 2):
Vmax = (e^(K' (x-Pvmax)) - 1) / (t-tvmax) K'
ma se al posto di usare tvmax e Pvmax uso la prima serie di misurazioni ? ossia x1 e t1 !!!!
ossia dati: ( uso le medie del kopis per esempio ):
x1 = 1,55
t1 = 0,082
x2 = 3,27
t2 = 0,203
x3 = 4,99
t3 = 0,416
ponendo tvmax = t1 e Pvmax = x1 possiamo riscrivere la formula usando x2, t2 come:
V1 = (e^(K' (x2-x1)) - 1) / (t2-t1) K'
ed usando x3, t3 come:
V1 = (e^(K' (x3-x1)) - 1) / (t3-t1) K'
Dove V1 è la velocità in (x1,t1) .
Dalle precedenti formule si può trarre l'uguaglianza.
(e^(K' (x2-x1)) - 1) / (t2-t1) K' = (e^(K'(x3-x1)) - 1) / (t3-t1)K'
ossia :
(t2-t1) / (t3-t1) = (e^(K'(x2-x1)) - 1) / (e^(K'(x3-x1)) - 1)
La formula può essere rappresentata anche come:
che semplificata diventa:
dove:
A questo punto mi sono bloccato perchè ricavare direttamente K' non è certo alla portata delle mie conoscenze.
Siccome non mi arrendo facilmente, ho impostato una piccola routine in visual basic di excel al fine di "indovinare" K' con precisione al millesimo ( d'altra parte conosco tutti i parametri tranne K' e basta far trovare al computer quel valore di K' con avanzamenti di 0,001 - o se si vuole minori, ma non avrebbe senso- affinchè l'uguaglianza sia rispettata).
La precisone al millesimo corrisponde in pratica al calcolo effettivo di K'.
Trovato K' rimane da determinare Vmax. Basta usare la FORMULA 2.
In questo caso però Vmax corrisponde alla velocità in (x1,t1).
E' da notare come la FORMULA 2 restituisce le velocità istantanee tra x1 ed x3 (non una media).
A tal proposito vorrei ricordare che anche il calcolo della velocità con telecamere ad alta velocità o altri sistemi di rivelazione spazio/tempo effettuano delle medie ad intervalli prefissati. Maggiore è l'intervallo, maggiore può essere l'approssimazione. Cercherò di approfondire meglio in seguito questo concetto.
Una seconda nota che sarà ulteriormente approfondita in seguito nell'ambito delle conclusioni, riguarda la determinazione di t1, t2, t3.
Vorrei anticipare soltanto che tali valori rappresentano delle medie di tempi.
L'analisi del tiro col modello proposto sarà in definitiva quella di un "tiro medio" ( ricordiamoci che ogni tiro di uno stesso arbalete presenta un ampio range di differenza rispetto ad altri tiri effettuati in pari condizioni con il medesimo fucile) e non tante medie di un unico tiro su un'unica gittata.
Condizione essenziale ai fini della applicabilità del modello è che la media dei tempi registrata sia contemporaneamente precisa ed accurata. Col metodo dell'analisi della traccia audio ho un ottimo livello di precisione che penso essere, se non superiore (ripeto, ne dicuterò meglio), almeno pari a quello offerto dall'analisi delle clips con telecamera ad alta velocità ( almeno per velocità inferiori a 1000 fps).
Per avere un elevato livello di accuratezza è necessario disporre di un numero statisticamente significativo di misurazione alle distanze prefissate.
In ogni caso volendo analizzare un singolo tiro è sufficiente rivelare in modo univoco i tempi alle tre distanze prefissate lungo la gittata di un singolo tiro. Ciò può essere realizzato con un ulteriore implementazione del sistema di analisi della traccia audio su cui sto lavorando.
In tal modo si otterrà l'analisi della velocità istantanea di un singolo tiro.
Sono convinto, però, sia più indicato ai fini della valutazione balistica di un fucile avere , un'analisi precisa di un tiro medio ( come è possibile effettuare col metodo proposto), che quella di un unico tiro.
Vorrei fare un'ultima veloce anticipazione circa la possibilità di determinare le velocità istantanee in punti che precedono x1 o che seguono x3.
Il discorso è più semplice a farsi che a dirsi.
Infatti conoscendo V1 e V3 ( ma in generale due qualsiasi velocità in due punti diversi compresi tra V1 e V3) possiamo ricavare facilmente l'energia cinetica posseduta dall'asta usata. D'altra parte conosciamo (perchè la possiamo misurare direttamente) la massa dell'asta e quindi ricavare l'energia cinetica nei punti x1 ed x3 con la nota formula :
E = 1/2 * m * V^2
dove m è la massa dell'asta e V la velocità della stessa.
Calcolate l'energia cinetica posseduta dall'asta nei punti x1 ed x3 (denominata rispettivamente E1 ed E3) avremo che per esse sarà valida la relazione ( come stabilito nella prima parte del presente modello):
E3 = E1 * e^-((2*(x3-x1)) / Cb')
da cui:
Cb' = 1 / (log(e^(2(x3-x1))(E1/E3))
In tal modo è possibile calcolare Cb'.
Conoscendo Cb' possiamo trovare l'energia cinetica istantanea ( e quindi la velocità istantanea ) dell'asta anche in punti che precedono x1 o che seguono x3.
Ad esempio è possibile calcolare la velocità istantanea a fine corsa elastici ( Efc ) usando la formula:
Efc = E1 / (e^-((2*Pfc)/Cb'))
dove Pfc = x1 - long.
Come amava già dire Aristotele ..... "Méson te kai áriston" (Il mezzo è la cosa migliore) o come professavano i filosofi scolastici "In medio stat virtus" (La virtù sta in mezzo) ..... noi potremmo affermare che l'analisi di un tiro medio è l'optimum della descrizione balistica di un fucile.
Conclusioni
Le conclusioni e il relativo foglio excel basato su quanto sopra esposto saranno oggetto di un nuovo scritto.
Posso solo anticipare , a mò di esempio, qualche grafico.
